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物理示例概览

本页介绍 nblade 在物理学中的应用示例。

示例列表

01_rigid_body.py - 刚体动力学

难度: ⭐⭐⭐ 高级

内容: - 角动量作为二重向量 - 惯性张量 - 刚体旋转动力学 - 几何代数形式的欧拉方程 - 转动动能 - 简单刚体模拟

运行: 

python examples/physics/01_rigid_body.py

预期输出: 

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nblade Rigid Body Physics Example
Application of Geometric Algebra in Classical Mechanics
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Section 1: Angular Momentum as Bivector
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In traditional vector analysis, angular momentum L = r × p
In geometric algebra, angular momentum naturally represents as bivector L = r ∧ p

Position vector r = 3.000000e1 + 4.000000e2
Momentum vector p = 2.000000e1 + -1.000000e2 + 5.000000e3

Angular momentum bivector L = r∧p = -11.000000e1∧e2 + 15.000000e1∧e3 + 20.000000e2∧e3
...

02_kepler_problem.py - 开普勒问题

难度: ⭐⭐⭐ 高级

内容: - 角动量作为二重向量 L = r ∧ p - 中心力场运动 - 轨道方程的几何代数推导 - 偏心率矢量（拉普拉斯-龙格-楞次矢量） - 数值模拟与守恒量验证

运行: 

python examples/physics/02_kepler_problem.py

预期输出: 

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nblade 开普勒问题示例
几何代数在轨道力学中的应用
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第一节：角动量作为二重向量
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在中心力场中，角动量守恒是核心性质
传统方法：L = r × p (叉积，仅限3D)
几何代数：L = r ∧ p (外积，任意维度)

位置向量 r = 5.000000e1
动量向量 p = m·v = 1.000000e2

角动量 L = r ∧ p = 5.000000e1∧e2
...

核心概念

角动量的几何表示

在传统向量分析中，角动量定义为叉积：

\[\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\]

在几何代数中，角动量自然地表示为二重向量：

\[L = r \wedge p\]

这种表示的优势： - 适用于任意维度（叉积仅在3D有效） - 几何意义清晰（张成的平面） - 与几何代数的其他运算保持一致

与传统叉积的关系

在三维空间中，角动量的对偶对应于传统叉积：

L_bivector = r ^ p        # 几何代数表示
L_vector = L_bivector.dual()  # 对应于传统叉积结果

刚体旋转

刚体姿态用转子描述：

# 角速度平面
omega_plane = omega.dual()

# 更新转子
delta_rotor = alg.rotor(omega_plane, omega_magnitude * dt)
rotor = delta_rotor * rotor

开普勒问题中的守恒量

在中心力场 F = -k/r² · r̂ 中，有两个重要的守恒量：

角动量: $\(L = r \wedge p\)$

角动量二重向量表示位置和动量张成的有向面积，其方向垂直于轨道平面。

偏心率矢量（拉普拉斯-龙格-楞次矢量）: $\(\mathbf{e} = \frac{\mathbf{L} \times \mathbf{v}}{k} - \hat{\mathbf{r}}\)$

偏心率矢量指向轨道的近日点方向，其大小等于轨道偏心率。

理论背景

欧拉方程

无外力矩刚体的欧拉方程：

\[\frac{d\mathbf{L}}{dt} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{L} = 0\]

在几何代数中：

\[\frac{dL}{dt} + \omega \wedge L = 0\]

转动动能

\[T = \frac{1}{2} \omega \cdot L = \frac{1}{2} \sum_i I_i \omega_i^2\]

在 nblade 中：

T = 0.5 * (omega | L).scalar_part()

轨道方程

开普勒问题的极坐标轨道方程：

\[r(\theta) = \frac{l}{1 + e \cos \theta}\]

其中 l 是半正焦弦，e 是偏心率。

半正焦弦与角动量的关系：

\[l = \frac{L^2}{mk}\]

常见问题

Q: 为什么用二重向量表示角动量？

A: 二重向量明确表示旋转平面，比传统向量（表示旋转轴）更加几何直观。此外，二重向量在任何维度都有效。

Q: 如何从角速度计算转子？

A: 角速度的对偶就是旋转平面，然后用该平面创建转子：

omega = alg.vector([0, 0, 1])  # 绕 z 轴
omega_plane = omega.dual()      # e1∧e2
rotor = alg.rotor(omega_plane, angle)

Q: 几何代数如何处理开普勒问题？

A: 几何代数通过以下方式简化开普勒问题： - 角动量 L = r ∧ p 作为二重向量自然表示 - 偏心率矢量作为守恒量统一处理 - 所有运算在任意维度保持一致 - 避免了复杂的坐标系变换

参考文献

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