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几何代数基础教程

本教程介绍几何代数的基本概念和 nblade 的使用方法。

目录

  1. 几何代数简介
  2. 多重向量
  3. 几何积
  4. 外积
  5. 内积
  6. 对合运算
  7. 对偶

1. 几何代数简介

什么是几何代数？

几何代数（Geometric Algebra）是由 Hermann Grassmann 和 William Kingdon Clifford 在 19 世纪发展起来的数学体系。它将：

  • 标量（0 维）
  • 向量（1 维）
  • 二重向量（2 维，表示平面）
  • 三重向量（3 维，表示体积）
  • ... 等等

统一到 多重向量（Multivector） 的概念中。

为什么使用几何代数？

传统方法 几何代数方法
使用矩阵表示旋转 使用转子，更简洁
叉积只在 3D 有效 外积在任意维度有效
复数、四元数是独立概念 都是几何代数的子代数
需要多种运算规则 几何积统一一切

2. 多重向量

多重向量是几何代数中的基本对象，是不同阶次元素的线性组合。

阶次（Grade）

  • 0 阶：标量，如 5
  • 1 阶：向量，如 e1, 2e1 + 3e2
  • 2 阶：二重向量，如 e1∧e2（表示平面）
  • 3 阶：三重向量，如 e1∧e2∧e3（表示体积）

在 nblade 中创建多重向量

import nblade

alg = nblade.Algebra.euclidean(3)
e1, e2, e3 = alg.basis_vectors()

# 标量
s = alg.scalar(5.0)

# 向量
v = alg.vector([1.0, 2.0, 3.0])

# 二重向量
B = e1 ^ e2

# 混合多重向量
mixed = s + v + B

提取特定阶次

# 获取标量部分
scalar_part = mixed.grade(0)

# 获取向量部分
vector_part = mixed.grade(1)

# 获取二重向量部分
bivector_part = mixed.grade(2)

3. 几何积

几何积是几何代数最核心的运算。

定义

对于两个向量 a 和 b：

ab = a·b + a∧b
  • a·b：内积，是对称部分（标量）
  • a∧b：外积，是反对称部分（二重向量）

在 nblade 中使用

a = alg.vector([1.0, 2.0, 0.0])
b = alg.vector([3.0, 1.0, 0.0])

# 几何积
product = a * b
print(product)  # 标量 + 二重向量

性质

  1. 结合律：(ab)c = a(bc)
  2. 分配律：a(b + c) = ab + ac
  3. 非交换：ab ≠ ba（一般情况）

基向量的几何积

# 正交向量
print(e1 * e2)  # e12（二重向量）

# 平行向量
print(e1 * e1)  # 1（标量）

4. 外积

外积（楔积）表示两个向量张成的子空间。

几何意义

  • 向量 a 和 b 的外积 a∧b 是一个 二重向量
  • 表示 a 和 b 张成的平面
  • 其范数等于平行四边形的面积

反对称性

print(e1 ^ e2)   # e12
print(e2 ^ e1)   # -e12
print(e1 ^ e1)   # 0

高阶外积

# 三重向量（体积）
volume = e1 ^ e2 ^ e3
print(volume)  # e123

# 在 3D 中，这是伪标量

计算面积

a = alg.vector([2.0, 0.0, 0.0])
b = alg.vector([1.0, 1.0, 0.0])

area = (a ^ b).norm()
print(f"平行四边形面积: {area}")  # 2.0

5. 内积

内积表示投影关系。

向量的内积

a = alg.vector([1.0, 2.0, 3.0])
b = alg.vector([4.0, 5.0, 6.0])

# 内积（结果是标量）
inner = a | b
print(inner)  # 32

左收缩和右收缩

# 左内积（左收缩）
left = a | b

# 右内积（右收缩）
right = a.right_inner(b)

几何意义

内积可以用来：

  1. 计算投影：(a|b)/|b|² × b 是 a 在 b 上的投影
  2. 判断正交：如果 a|b = 0，则 a 和 b 正交
  3. 计算夹角：cos(θ) = (a|b)/(|a||b|)

6. 对合运算

对合是将多重向量映射到自身的运算。

阶次对合（Grade Involution）

对于 r 阶次元素，乘以 (-1)^r：

v = alg.vector([1, 2, 3])
print(v.grade_involution())  # -v（向量是 1 阶，(-1)^1 = -1）

反转（Reversion）

对于 r 阶次元素，乘以 (-1)^(r(r-1)/2)：

print(v.reversion())  # v（向量不变）

Clifford 共轭

Clifford 共轭 = 阶次对合 + 反转：

print(v.clifford_conjugate())

应用

对合运算主要用于计算：

  • 范数：|A|² = ⟨A†A⟩₀
  • 逆：A⁻¹ = A†/|A|²（对于可逆元素）

7. 对偶

对偶是将 k-向量映射到 (n-k)-向量的运算。

定义

在 n 维空间中，向量 v 的对偶是：

v* = v·I⁻¹

其中 I 是伪标量（最高阶基向量）。

在 nblade 中使用

v = alg.vector([1, 2, 3])
dual_v = v.dual()
print(dual_v)  # 二重向量

# 逆对偶
original = dual_v.inverse_dual()

几何意义

在 3D 中：

  • 向量的对偶是二重向量（平面）
  • 二重向量的对偶是向量
  • 这建立了 叉积 和 外积 的联系：a × b = (a ∧ b)*

伪标量

# 获取伪标量
I = alg.config.volume_element()
print(I)  # e123

# 伪标量的平方
print(I * I)  # -1（在 3D 欧几里得空间）

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