教程示例概览¶
本页介绍 nblade 的教程示例，帮助你快速掌握几何代数的基本概念和操作。
示例列表¶
01_quickstart.py - 快速入门¶
难度: ⭐ 初级
内容: - 创建几何代数 - 基向量与向量创建 - 三种基本积 - 旋转操作简介
运行:
预期输出:
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nblade 快速入门 - 5分钟掌握核心功能
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【1. 创建几何代数】
代数类型: 几何代数 G(3, 0, 0) (3D)
维度: 3
符号 (p, q, r): (3, 0, 0)
【2. 基向量与向量创建】
基向量 e1 = 1.000000e1
...
关键概念:
- nblade.Algebra.euclidean(n) - 创建 n 维欧几里得代数
- alg.vector([...]) - 创建向量
- *, ^, | - 几何积、外积、内积
02_basic_operations.py - 基本运算¶
难度: ⭐⭐ 基础
内容: - 几何积详解 - 外积详解 - 内积详解 - 三种积的关系 - 实际应用示例
运行:
关键概念:
- 核心公式: ab = a·b + a∧b
- 外积表示张成的子空间
- 内积表示投影关系
03_vectors.py - 向量操作¶
难度: ⭐⭐ 基础
内容: - 向量的多种创建方法 - 向量属性（范数、系数等） - 代数运算（加、减、乘） - 几何运算（投影、反射） - 对合运算 - 高维向量
运行:
关键概念:
- alg.basis_vectors() - 获取所有基向量
- v.norm() - 计算范数
- v.project_to(blade) - 投影
- v.reflect_in(n) - 反射
04_dual_operations.py - 对偶运算¶
难度: ⭐⭐ 基础
内容: - 对偶运算的基本概念 - Hodge 对偶的计算方法 - 对偶与叉积的关系 - 逆对偶运算 - 不同维度下的对偶特性
运行:
关键概念:
- 对偶将 r 阶元素映射到 (n-r) 阶元素
- 3D 中: a × b = (a ∧ b)*
- * 表示对偶运算
- 向量的对偶表示其正交补空间
05_rotations.py - 旋转教程¶
难度: ⭐⭐⭐ 进阶
内容: - 2D 旋转与复数 - 3D 旋转与转子 - 组合多个旋转 - 旋转插值（SLERP） - 转子与四元数的关系 - 实际应用示例
运行:
关键概念:
- 转子: R = exp(-B·θ/2)
- 旋转公式: v' = R·v·R†
- 组合旋转: R_combined = R2·R1
06_reciprocal_frame.py - 互逆标架¶
难度: ⭐⭐⭐ 进阶
内容: - 什么是互逆标架 - 如何计算互逆标架 - 验证互逆条件 - 度量张量的计算 - 互逆标架的应用
运行:
关键概念:
- 互逆标架满足 aⁱ⌋aⱼ = δⁱⱼ
- 正交基的互逆标架就是其本身
- 非正交基的互逆标架需要计算
- 互逆标架用于在任意标架下分解向量
- reciprocal_frame() 函数计算互逆标架
- metric_tensor() 函数计算度量张量
07_grade_operations.py - 阶次操作¶
难度: ⭐⭐ 基础
内容: - 阶次的概念（0阶到n阶） - 阶次提取 - 偶部和奇部分解 - 阶次对合（Grade Involution） - 反序（Reversion） - Clifford 共轭
运行:
关键概念:
- 阶次表示基向量的数量
- mv.grade(r) - 提取 r 阶部分
- mv.even_part() / mv.odd_part() - 偶部/奇部
- ~mv - 阶次对合
- mv.reversion() - 反序
- mv.clifford_conjugate() - Clifford 共轭
学习路径¶
01_quickstart.py
↓
02_basic_operations.py
↓
03_vectors.py
↓
04_dual_operations.py
↓
07_grade_operations.py
↓
05_rotations.py
↓
06_reciprocal_frame.py
↓
应用示例
常见问题¶
Q: 为什么外积结果是二重向量？¶
A: 外积 a ^ b 表示两个向量张成的子空间（平面）。在几何代数中，平面由二重向量表示，而不是像传统向量分析那样由法向量表示。
Q: 几何积与内/外积的关系是什么？¶
A: 几何积是基本运算，分解为内积和外积: ab = a·b + a∧b。内积是对称部分（标量），外积是反对称部分（二重向量）。
Q: 转子与四元数的关系是什么？¶
A: 四元数是几何代数的偶子代数。四元数单位 i, j, k 对应于二重向量 e₂∧e₃, e₃∧e₁, e₁∧e₂。
Q: 什么是对偶运算？¶
A: 对偶运算将 r 阶元素映射到 (n-r) 阶元素，其中 n 是空间维度。在 3D 中，向量的对偶是二重向量，表示垂直于原向量的平面。
Q: 什么是互逆标架？¶
A: 互逆标架是一组向量，与原标架满足 aⁱ⌋aⱼ = δⁱⱼ（Kronecker delta）。它用于在任意标架下分解向量，特别是在非正交坐标系中。
下一步¶
完成教程示例后，你可以继续学习:
或查看 API 参考 获取更多详细信息。